Az egyenlő oldalú trapéz átlója. Mi a trapéz vonala? A trapéz típusai. A trapéz ..

A trapéz egy négyszög különleges esete,amely egy pár pár párhuzamos. A "trapéz" kifejezés a görög szóból származik, azaz a "táblázat", "tábla". Ebben a cikkben a trapéz típusait és tulajdonságait tekintjük meg. Ezenkívül megértjük, hogyan kell kiszámítani a geometriai alakzat egyes elemeit. Például egy egyenlő oldalú trapéz, középvonal, terület stb. Átlója.

Általános információk

Először is, nézzük meg, mi vannégyszög. Ez az ábra egy négyszög és négy csúcsot tartalmazó sokszög különleges esete. A négyszög két, nem szomszédos csúcsát ellenkezőnek nevezik. Ugyanez mondható el a két nem szomszédos oldalról is. A quadrilaterals fő típusai a párhuzamos, téglalap, rombusz, négyzet, trapéz és deltoid.

Szóval vissza a trapézba. Mint mondtuk, ebben a számban a két fél párhuzamos. Ezeket bázisoknak nevezik. A másik kettő (nem párhuzamos) - az oldalak. A vizsgálatok és a különböző vizsgálatok anyagaiban nagyon gyakran lehetséges a trapéziumokkal kapcsolatos feladatok teljesítése, amelynek megoldása gyakran a hallgató számára megköveteli a program által nem fedezett tudást. Az iskolai geometria tanfolyamok bemutatják a diákokat a szögek és az átlós tulajdonságok, valamint az egyszárnyú trapéz középvonalának. De végül is, az említett geometriai ábrának más jellemzői is vannak. De róluk egy kicsit később ...

A trapéz típusai

Ennek a számnak sok típusa van. Azonban általában elfogadottnak tartják, hogy kettőt kettős - egyenlő és négyszögletes.

1. A téglalap alakú trapéz egy olyan ábra, amelyben az egyik oldal merőleges az alapokra. Két sarka mindig kilencven fok.

2. Egy egyenlő oldalú trapéz egy geometriai alak, amelynek oldalai egyenlőek egymással. Ez azt jelenti, hogy a bázisok szögei párban is egyenlőek.

A trapézok tulajdonságainak tanulmányozásának alapelvei

Az alapelv azaz úgynevezett feladat megközelítés. Valójában nincs szükség az új tulajdonságok geometriájának elméleti lefutására. Meg lehet nyitni és megfogalmazni a különböző feladatok megoldását (lehetőleg szisztémás). Nagyon fontos, hogy a tanár megtudja, milyen feladatokat kell az iskolai tanulóknak egyidejűleg vagy az oktatási folyamat során megadni. Ezen túlmenően a trapéz minden egyes tulajdonsága a feladatrendszerben kulcsfontosságú feladat lehet.

A második elv az úgynevezetta "csodálatos" trapéz tulajdonságok tanulmányozásának spirális szervezete. Ez azt jelenti, hogy a tanulási folyamat visszatér egy adott geometriai alakzat egyedi jellemzőihez. Így a diákok számára könnyebb megemlíteni őket. Például a négy pont tulajdonsága. Mind a hasonlóság vizsgálatában, mind pedig vektorok segítségével bizonyítható. És az ábra oldalainak szomszédságában lévő háromszögek egyenlő nagysága bizonyítható, ha nem csak az egyenlő magasságú háromszögek tulajdonságait alkalmazzuk az egyenesen fekvő oldalakra, hanem az S = 1/2 (ab * sinα) képletet is. Ezenkívül ki lehet dolgozni a szinuszok tételét a feliratozott trapézon vagy egy derékszögű háromszöget a leírt trapézon, stb.

A "tanórán kívüli" funkciók használataaz iskolai tanfolyam tartalmának geometriai alakja a tanításuk feladata. A vizsgált tulajdonságokhoz való folyamatos hozzáférés más témakörökön keresztül lehetővé teszi a diákok számára, hogy többet tudjanak meg a trapézról, és biztosítja a feladatok megoldásának sikerességét. Szóval, folytassuk ezt a figyelemre méltó számot.

Egy egyenlőszárnyú trapéz elemei és tulajdonságai

Mint már említettük, ez a geometriaiaz oldalak egyenlőek. Ő is ismert, mint egy rendszeres trapéz. És miért olyan figyelemre méltó, és miért kapott ilyen nevet? Ennek az ábrának a sajátosságai magukban foglalják azt a tényt, hogy nem csak az alsó oldalak és sarkok, hanem az átló is van. Ezen túlmenően egy egyenlőszárú trapéz szögének összege 360 ​​fok. De ez még nem minden! Az összes ismert trapeziumból csak egy egyenlőszárnyú kör körül lehet leírni egy kört. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy ennek a számnak az ellenkező szögeinek összege 180 fok, és csak ebben az állapotban lehet egy kör körül négyszög körül leírni. A figyelembe vett geometriai ábra következő tulajdonsága, hogy a bázis tetejétől az ellenkező felső vonalnak az egyenes vonalhoz viszonyított vetülete, amely ezt a bázist tartalmazza, egyenlő lesz a középvonalral.

Most nézzük meg, hogyan lehet megtalálni egy egyenlőszárnyú trapéz szögét. Tekintsünk egy megoldást erre a problémára, feltéve, hogy ismertek az ábra oldalainak méretei.

A megoldás

Általában általában négyszög jelölikA, B, C, D betűk, ahol a BS és a HELL az alapok. Egy egyenlőszárú trapézban az oldalak egyenlőek. Feltételezzük, hogy a mérete X-nek felel meg, és az alapok méretei Y és Z (kisebbek és nagyobbak). A számítás elvégzéséhez a B. magasságot kell elvégezni a B. szögből. Ennek eredményeként egy ABN derékszögű háromszöget kapunk, ahol az AB a hypotenuse, a BN és az AN pedig a lábak. Kiszámítjuk az AN láb méretét: a nagyobb bázisból kivesszük a kisebbet, és osztjuk az eredményt 2-vel. Írjuk a következő képletet: (Z-Y) / 2 = F. Most, hogy kiszámítsuk a háromszög akut szögét, használjuk a cos funkciót. A következő bejegyzést kapjuk: cos (β) = X / F. Most kiszámolja a szöget: β = arcos (X / F). Továbbá, egy szög ismeretében meg tudjuk határozni a másodikt, ezért elemi aritmetikai műveletet hozunk létre: 180 - β. Minden szög meg van határozva.

Van egy másik megoldás erre a problémára. Kezdetben elhagyjuk a szög В N magasságot. Kiszámítjuk a BN láb értékét. Tudjuk, hogy a jobb háromszög hipotenézisének négyzete megegyezik a lábak négyzetének összegével. BN = √ (X2-F2). Ezután használja a tg trigger funkciót. Ennek eredményeként: β = arctg (BN / F) van. Éles szög található. Ezután az első módszerhez hasonló, homályos szöget definiálunk.

Egy egyenlőszárú trapéz átlóinak tulajdonsága

Először is négy szabályt írunk le. Ha az egyenlőszárú trapézban lévő diagonálok merőlegesek, akkor:

- az ábra magassága megegyezik a bázisok kettővel elosztott összegével;

- magassága és középvonala egyenlő;

- a trapéz tér területe megegyezik a magasság négyzetével (középvonal, bázisok félösszege);

- az átló négyzete egyenlő a bázisok négyzetének vagy a középvonal négyzetének (magasság) négyzetének.

Most megvizsgáljuk az egyenlő oldalú trapéz átlóját meghatározó képleteket. Ez az információblokk négy részre osztható:

1. Az átló átmérője a keze alatt.

Elfogadjuk, hogy A az alsó bázis, B a felső, C az egyenlő oldal, D a diagonális. Ebben az esetben a hossz a következőképpen határozható meg:

D = √ (C2 + A * B).

2. Átlós hosszúságú képletek a kozin tétel alapján.

Elfogadjuk, hogy A az alsó bázis, B a felső,C - egyenlő oldalak, D - átlós, α (az alsó bázisnál) és β (a felső bázisnál) - trapéz szögek. A következő képleteket kapjuk, amelyekkel kiszámíthatjuk az átló hosszát:

- D = √ (A2 + C2-2A * C * cosα);

- D = √ (A2 + C2-2A * C * cosβ);

- D = √ (B2 + C2-2B * C * cosβ);

- D = √ (B2 + C2-2B * C * cosα).

3. Egy egyenlőszárú trapéz alakú diagonálok hosszának képletei.

Elfogadjuk, hogy A az alsó bázis, B a felső, D a diagonális, M a középvonal, H a magasság, P a trapéz alakú terület, α és β a diagonális szögek. Határozza meg a következő képletek hosszát:

- D = √ (M2 + H2);

- D = √ (H2 + (A + B) 2/4);

- Д = √ (Н (А + Б) / sinα) = √ (2П / sinα) = √ (2М * Н / sinα).

Ebben az esetben az egyenlőség: sinα = sinβ.

4. Átlós hosszúságú képletek az oldalakon és a magasságon.

Elfogadjuk, hogy A az alsó bázis, B a felső, C az oldalsó, D az átlós, H a magasság, α az alsó bázis szöge.

Határozza meg a következő képletek hosszát:

- D = √ (H2 + (A-P * ctgα) 2);

- D = √ (H2 + (B + P * ctgα) 2);

- D = √ (A2 + C2-2A * √ (C2-H2)).

A téglalap alakú trapézok elemei és tulajdonságai

Nézzük meg, mi érdekes ez a geometriai forma. Ahogy már mondtuk, egy téglalap alakú trapéznak két derékszöge van.

A klasszikus definíció mellett vannakmások. Például egy téglalap alakú trapéz egy trapéz, amelyben az egyik oldal merőleges az alapokra. Vagy egy derékszögű ábra az oldalon. Az ilyen típusú trapézoknál a magasság megegyezik az alapokra merőleges oldallal. A középvonal a két oldal középpontjait összekötő szegmens. Az említett elem tulajdonsága, hogy párhuzamos az alapokkal, és összege megegyezik az összegük felével.

Most nézzük meg az alapvető képleteketmeghatározza ezt a geometriai alakot. Ehhez feltételezzük, hogy A és B bázisok; C (merőleges az alapokra) és D - oldalán egy téglalap alakú trapéz, M - középvonal, α - akut szög, P - terület.

1. Az alapokra merőleges oldal egyenlő az ábra magasságával (C = H), és megegyezik a második D oldal és a szög szögének a nagyobb bázissal (C = D * sinα). Ezenkívül megegyezik az α akut szög érintőjével és az alap különbséggel: C = (A - B) * tgα.

2. A D oldala (nem merőleges az alapokra) megegyezik az A és B részleges különbséggel, valamint az akut szög kozinussal (α), vagy a H ábra és az akut szög szinuszával: D = (AB) / cos α = C / sinα.

3. Az alapokra merőleges oldal egyenlő a D tér - a második oldal - és a bázisok különbségének négyzetgyökével:

C = √ (D2- (AB) 2).

4. A téglalap alakú háromszög alakú D oldal egyenlő a geometriai ábra C oldalának négyzetének és az alap különbség négyzetének négyzetgyökével: D = √ (C2 + (A - B) 2).

5. A C oldal megegyezik a kettős területnek az alapjainak összegével való megosztásának hányadosával: C = P / M = 2P / (A + B).

6. A területet az M (a téglalap alakú trapéz középvonalának) terméke és az alapokra merőleges magasság vagy oldal határozza meg: P = M * H = M * C.

7. A C oldal egyenlő azzal a hányaddal, hogy az ábra dupla területét az akut szög szinuszának és bázisainak összegével osztjuk el: C = P / M * sinα = 2P / ((A + B) * sinα).

8. A téglalap alakú trapéz oldalsó oldalának átlói és a köztük lévő szögek:

- sinα = sinβ;

- C = (D1 * D2 / (A + B)) * sinα = (D1 * D2 / (A + B)) * sinβ,

ahol D1 és D2 trapéz alakú átló; α és β a köztük lévő szögek.

9. Az alsó bázis és a másik oldal szöge közötti oldal képletei: D = (A-B) / cosα = C / sinα = H / sinα.

Mivel a trapéz egy derékszögű trapéz egy speciális esete, a többi képlet, amely ezeket a számokat határozza meg, egy téglalap alakúnak felel meg.

Feliratozott kör tulajdonságai

Ha a feltétel azt írja, hogy egy kör téglalap alakú trapézba van írva, akkor a következő tulajdonságok használhatók:

- az alapok összege megegyezik az oldalak összegével;

- a téglalap alakú oldal tetejétől a beírt kör érintőpontja közötti távolság mindig egyenlő;

- a trapézok magassága megegyezik az alapokra merőleges oldalával, és egyenlő a kör átmérőjével;

- a kör középpontja az a pont, ahol a sarkok szétvágójai metszenek;

- ha az oldalt egy érintési ponttal osztják el a H és M szegmensekben, akkor a kör sugara megegyezik a szegmensek termékének négyzetgyökével;

- a négyszög, amelyet a érintkezési pontok, a trapéz csúcsa és a beírt kör középpontja képez, olyan négyzet, amelynek oldala megegyezik a sugárral

- az ábra területe megegyezik a bázisok termékével és a bázisok félösszegének a magasságig mért termékével.

Hasonló trapéz

Ez a téma nagyon kényelmes a tulajdonságok tanulmányozásáhozez a geometriai forma. Például a diagonálok osztják a trapézot négy háromszögre, a bázisokkal szomszédosak hasonlóak, és megegyeznek az oldalakkal. Ezt a kijelentést háromszögek tulajdonságaként nevezhetjük, amelyekbe egy trapéz van osztva az átlóval. Ennek a kijelentésnek az első része a hasonlóság jele alapján két szögben bizonyítható. A második rész bizonyításához jobb az alábbi módszer alkalmazása.

A tétel bizonyítása

Elfogadja, hogy az ABSD (BP és BS - az alapok) alakjatrapéz) a VD és az AU átlói megsérülnek. Kereszteződésük pontja O. Négy háromszöget kapunk: AOS az alsó bázisnál, BFB a felső, ABO és SOD az oldalakon. Az SOD és a BFB háromszögei közös magassággal rendelkeznek abban az esetben, ha a BO és az OD szegmensei a bázisuk. Azt kapjuk, hogy területük (P) különbsége megegyezik a szegmensek különbségével: PBOS / PODC = BO / ML = K. Következésképpen, PSCH = PBOS / K. Hasonlóképpen a PE és az AOB háromszögek közös magasságúak. Elfogadva a CO és az OA alapszakaszaihoz. PBOS / PAOB = CO / OA = K és PAOB = PBOS / K. kapunk. Ebből következik, hogy a PSOD = PAOB.

A diákokat arra ösztönzik, hogy konszolidálja az anyagot.keresse meg az összeköttetést a kapott háromszögek területei között, amelyek átlói által trapézba vannak osztva, a következő probléma megoldásával. Ismeretes, hogy a BOS és az AOD területei egyenlőek, ezért meg kell találni a trapéz területét. A PSOD = PAOB óta PABSD = PBOS + PAOD + 2 * PSOD. A BOS és az ANM háromszögek hasonlóságából következik, hogy BO / ML = √ (PBOS / PAOD). Következésképpen a PEER / PSOD = BO / ML = √ (PEER / PAHO). Kapjuk a PSOD = √ (BSER * PAHO). Ezután PABSD = PBOS + PODD + 2 * √ (PBOS * PODD) = (BPBOS + √EPOD) 2.

Hasonlósági tulajdonságok

Folytatva ezt a témát, bizonyítani tudja ésmás érdekes trapéz alakú jellemzők. A hasonlóság használatával tehát bizonyíthatjuk egy olyan szegmens tulajdonságát, amely áthalad azon ponton, amelyet a geometriai alak átlói metszéspontja alkot, párhuzamosan az alapokkal. Ehhez megoldjuk az alábbi problémát: meg kell találni az O ponton áthaladó RK szegmens hosszát. Az AOD és BFB háromszögek hasonlóságából következik, hogy az AO / OC = AD / BS Az AOP és ASB háromszögek hasonlóságából következik, hogy AO / AC = PO / BS = AD / (BS + AD). Ebből azt kapjuk, hogy a PO = BS * BP / (BS + BP). Hasonlóképpen, a DOC és DBS háromszögek hasonlóságából következik, hogy az OK = BS * BP / (BS + BP). Ebből azt kapjuk, hogy PO = OK és RK = 2 * BS * BP / (BS + BP). A diagonálok metszéspontján áthaladó szegmens, amely az alapokkal párhuzamos, és összekapcsolja a két oldalt, felét osztja a metszésponttal. A hossza az ábra alapjának harmonikus átlaga.

Tekintsük a következő trapéz alakú minőséget, aminégy pont tulajdonát képezte. Az diagonálok (O) metszéspontjai, az oldalsó oldalak (E) kiterjesztésének metszéspontjai és az alapok középpontjai (T és F) mindig egy soron helyezkednek el. Ezt könnyen igazolja a hasonlóság módszer. A kapott BES és AED háromszögek hasonlóak, és mindegyikben a ЕТ és ЕЖ mediánok a Е csúcsot szögezik meg egyenlő részre. Ezért az E, T és Z pontok egy egyenes vonalban vannak. Hasonlóképpen, a T, O és Z pontok ugyanazon az egyenesen vannak, mindez a BOS és az ANP háromszögek hasonlóságából következik. Ezért arra a következtetésre jutunk, hogy mind a négy pont - E, T, O és F - egy egyenes vonalon fekszik.

Hasonlóképpen javasoljuk, hogy hasonló trapézokat használjona diákok számára, hogy megtalálják a szegmens hosszát (LF), amely két számra hasonlít. Ennek a szegmensnek párhuzamosnak kell lennie az alapral. Mivel a kapott trapéz ALFD és LBSF hasonló, akkor BS / LF = LF / AD. Ebből következik, hogy LF = √ (BS * AD). Megállapítjuk, hogy a trapéz alakú két hasonlóra osztó szegmens hossza megegyezik az ábra alaphosszainak geometriai átlagával.

Tekintsük a következő hasonlósági tulajdonságot. Egy szegmensen alapul, amely a trapézot két egyenlő méretű alakra osztja. Elfogadjuk, hogy az ABSD trapézja az EH szegmensben két hasonlóra oszlik. A B csúcsból a magasságot le kell csökkenteni, amit az EH szegmens két részre - B1 és B2 oszt meg. Kapunk: PABSD / 2 = (BS + EN) * B1 / 2 = (BP + EN) * B2 / 2 és PABSD = (BS + BP) * (B1 + B2) / 2. Ezután elkészítjük a rendszert, amelynek első egyenlete (BS + EN) * B1 = (BP + EN) * B2 és a második (BS + EN) * B1 = (BS + BP) * (B1 + B2) / 2. Ebből következik, hogy B2 / B1 = (BS + EN) / (BP + EN) és BS + EN = ((BS + BP) / 2) * (1 + В2 / В1). Azt kapjuk, hogy a trapéz alakú két egyenlő méretű szegmens hossza megegyezik az átlagos négyzetes alaphosszakkal: √ ((BS2 + AD2) / 2).

Hasonlósági megállapítások

Így bebizonyítottuk, hogy:

1. Az oldalsó oldalak közepén a trapézot összekötő szegmens párhuzamos a vérnyomással és a BS-vel, és megegyezik az aritmetikai középértékkel és a vérnyomással (a trapéz-alap hossza).

2. A BP és a BS párhuzamosan elhelyezkedő diagonálok O metszéspontján áthaladó vonal megegyezik a BP és BS (2 * BS * BP / (BS + BP)) harmonikus átlagával.

3. A trapézok hasonló felosztású szegmense a BS és a HELL átlagos geometriai alapjainak hossza.

4. Az elemet két egyenlő nagyságú elemnek a BP és BS átlagos négyzetszámának hossza van.

Konszolidálni az anyagot és tudatosságot a kapcsolat közöttúgy vélik, hogy a diákszegmensek építeniük kell őket egy adott trapézhoz. Könnyen megjelenítheti a középvonalat és az O ponton áthaladó szegmenst - az ábra átlóinak metszéspontját - az alapokkal párhuzamosan. De hol lesz a harmadik és a negyedik? Ez a válasz arra vezet, hogy a hallgató felfedezze az átlagok közötti kívánt kapcsolatot.

A szegmens, amely összeköti a trapézhidak átlóit

Figyeljük meg az alábbi tulajdonságot. Feltételezzük, hogy az MN szegmens párhuzamos az alapokkal, és felosztja a diagonálokat. A metszéspontokat Ш-nak és called-nak nevezik. Ez a szegmens megegyezik a bázisok fél-különbségével. Nézzük meg részletesebben. Az MSH ​​az ABS háromszög középvonala, egyenlő BS / 2-vel. MS - az ABD háromszög középvonala, ez egyenlő: HELL / 2. Ezután azt kapjuk, hogy ShchSH = MSh-MSh, ezért ShchSch = HELL / 2-BS / 2 = (HELL + VS) / 2.

Súlypont

Nézzük meg, hogyan határozzák megez az elem egy adott geometriai alakra vonatkozik. Ehhez hosszabbítsa meg az alapot ellentétes irányban. Mit jelent ez? Szükséges, hogy az alsó bázist a felső részre - például mindkét oldalon - jobbra kell hozzáadni. És az alsó rész a bal felső rész hosszával meghosszabbodik. Ezután átlósan csatlakoztatjuk őket. A szegmens metszéspontja az ábra középvonalával a trapéz súlypontja.

Trapeziumot írt és leírták

Sorolja fel az ilyen számok jellemzőit:

1. Egy trapéz alakú kört csak akkor lehet beírni egy körbe, ha egyenlőtű.

2. Egy kör körül egy trapéz alakú, azzal jellemezve, hogy a bázisuk hossza összege megegyezik az oldalak hosszának összegével.

A beírt kör következményei:

1. A leírt trapézok magassága mindig két sugarú.

2. A leírt trapéz oldala a kör közepétől egy derékszögben figyelhető meg.

Az első következmény nyilvánvaló, de bizonyítania második szükséges annak megállapításához, hogy a SOD szög egyenes, ami valójában nem is sok munkát végez. De ennek a tulajdonságnak a ismerete lehetővé teszi a problémák megoldását egy jobb háromszög segítségével.

Most meghatároztuk ezeket a következményeketegyoldalas trapéz, amely körbe van írva. Megértjük, hogy a magasság az ábra geometriai alapjainak átlaga: H = 2R = √ (BS * AD). A trapézok problémáinak megoldásának fő módszere (a két magasság elve) a hallgatónak a következő feladatot kell megoldania. Elfogadjuk, hogy a BT egy egyenlőszárú ABSD-érték. Meg kell találni az AT és TD szegmenseket. A fent leírt képlet alkalmazása nem lesz nehéz.

Most kitaláljuk, hogyan határozhatjuk meg a sugártkör, a leírt trapéz terület használatával. A magasság tetejéről a láda aljáig leeresztjük. Mivel a kör a trapézba van beírva, a BS + AD = 2 AB vagy AB = (BS + AD) / 2. Az ABN háromszögből szin = BN / AB = 2 * BN / (BS + BP) található. PABSD = (BS + AD) * BN / 2, BN = 2R. PABSD = (BS + AD) * R, így R = PABSD / (BS + AD).

.

Minden trapéz középvonala

Most itt az ideje, hogy elmegyünk a geometriai alak utolsó eleméhez. Megértjük, mi egyenlő a trapéz (M) átlagos vonalával:

1. Az alapokon keresztül: M = (A + B) / 2.

2. Magasság, alap és szögek:

• M = A - H * (ctgα + ctgp) / 2;

• M = B + H * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. Magasság, átló és szög közöttük. Például a D1 és a D2 trapéz alakú átló; α, β - a köztük lévő szögek:

M = D1 * D2 * sinα / 2H = D1 * D2 * sinβ / 2H.

4. A terület és a magasság: M = P / N.

</ p>>